以下是大学本科土木工程专业 桥梁工程 的 核心公式全汇编，涵盖 荷载计算、结构分析、构件设计、抗震验算、施工控制 等内容，依据《公路桥涵设计通用规范》（JTG D60-2015）、《城市桥梁设计规范》（CJJ 11-2011）等整理，每个公式均附 参数说明 和 工程应用场景。

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1. 桥梁荷载计算

1.1 永久作用（恒载）

自重荷载

$$G = \gamma \cdot V$$

• 符号说明：

  • $\gamma$ ：材料重度（kN/m³，混凝土取24~26）

  • $V$ ：构件体积（m³）

二期恒载（铺装、护栏等）

$$G_2 = q \cdot L$$

• $q$ ：均布荷载（kN/m）

• $L$ ：跨径（m）

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1.2 可变作用（活载）

公路-I级车道荷载

• 均布荷载： $q_k = 10.5 \ \text{kN/m}$

• 集中荷载：

  $$P_k = \begin{cases} 180 \ \text{kN} & (L \leq 5 \ \text{m}) \\ 360 \ \text{kN} & (L \geq 50 \ \text{m}) \\ \text{线性内插} & (5 \ \text{m} < L < 50 \ \text{m}) \end{cases}$$

冲击系数

$$\mu = \begin{cases} 0.05 & (L \leq 5 \ \text{m}) \\ 0.45 & (L \geq 45 \ \text{m}) \\ 0.1767 \ln L - 0.0157 & (5 \ \text{m} < L < 45 \ \text{m}) \end{cases}$$

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2. 桥梁结构分析

2.1 简支梁内力计算

跨中弯矩

$$M_{\text{max}} = \frac{q L^2}{8} + \frac{P L}{4}$$

• 应用场景：均布荷载+集中荷载作用下的简支梁。

支座剪力

$$V_{\text{max}} = \frac{q L}{2} + P$$

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2.2 连续梁内力（三弯矩方程）

$$M_{i-1} L_i + 2 M_i (L_i + L_{i+1}) + M_{i+1} L_{i+1} = -6 \left( \frac{A_i \bar{a}_i}{L_i} + \frac{A_{i+1} \bar{b}_{i+1}}{L_{i+1}} \right)$$

• 符号说明：

  • $M_i$ ：第i支点弯矩

  • $A_i$ ：第i跨弯矩图面积

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3. 构件设计

3.1 钢筋混凝土梁正截面抗弯

$$M_u = \alpha_1 f_c b x \left( h_0 - \frac{x}{2} \right) + f_y' A_s' (h_0 - a_s')$$

• 符号说明：

  • $\alpha_1$ ：混凝土强度修正系数（≤C50取1.0）

  • $h_0$ ：有效高度（ $h - a_s$ ）

3.2 预应力混凝土梁

有效预应力

$$\sigma_{pe} = \sigma_{con} - \sigma_l$$

• $\sigma_{con}$ ：张拉控制应力

• $\sigma_l$ ：预应力损失（含摩擦、锚固、收缩徐变等）

抗裂验算

$$\sigma_{st} - \sigma_{pc} \leq 0.7 f_{tk}$$

• $\sigma_{st}$ ：荷载标准组合下拉应力

• $\sigma_{pc}$ ：预应力产生的压应力

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4. 桥梁抗震设计

4.1 反应谱法地震作用

$$F_{Ehk} = \alpha_1 G_{eq}$$

• $\alpha_1$ ：水平地震影响系数（查规范图5.1.5）

• $G_{eq} = 0.75 G_E$ ：等效重力荷载

4.2 墩柱延性设计

曲率延性系数

$$\mu_\phi = \frac{\phi_u}{\phi_y} \geq 6 \quad (\text{抗震等级一级})$$

• $\phi_u$ ：极限曲率

• $\phi_y$ ：屈服曲率

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5. 桥梁施工控制

5.1 悬臂施工挠度预拱度

$$f_{\text{pre}} = f_{\text{elastic}} + f_{\text{creep}} + f_{\text{shrinkage}}$$

• 分量计算：

  • 弹性挠度： $f_{\text{elastic}} = \frac{5 q L^4}{384 E I}$

  • 徐变挠度： $f_{\text{creep}} = \phi(t) \cdot f_{\text{elastic}}$

    • $\phi(t)$ ：徐变系数（查规范附录F）

5.2 索力调整（最小弯曲能量法）

$$\min \sum_{i=1}^n (T_i - T_{i0})^2$$

• $T_i$ ：调整后索力

• $T_{i0}$ ：目标索力

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公式总表（按设计阶段分类）

设计阶段	核心公式	规范依据
荷载计算	$P_k = 360 \ \text{kN} \ (L \geq 50 \ \text{m})$	JTG D60 第4.3.1条
简支梁弯矩	$M_{\text{max}} = \frac{q L^2}{8} + \frac{P L}{4}$	结构力学基本原理
预应力损失	$\sigma_l = \sigma_{l1} + \sigma_{l2} + \dots$	JTG 3362 第6.2节
抗震延性	$\mu_\phi = \phi_u / \phi_y \geq 6$	JTG/T B02-01-2008

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参数说明汇总

符号	含义	单位/示例
$\mu$	冲击系数	无量纲（0.05~0.45）
$\sigma_{con}$	预应力张拉控制应力	0.75 $f_{ptk}$
$\phi(t)$	混凝土徐变系数	2.0~3.5（随龄期增长）
$\alpha_1$	地震影响系数	查规范反应谱曲线

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工程应用示例

案例1：简支T梁设计

• 跨径 $L = 20 \ \text{m}$ ，公路-I级荷载：

  • 均布荷载 $q_k = 10.5 \ \text{kN/m}$

  • 集中荷载 $P_k = 180 + (360-180) \times \frac{20-5}{50-5} = 240 \ \text{kN}$

  • 跨中弯矩

案例2：抗震墩柱配筋

• 要求曲率延性 $\mu_\phi \geq 6$ ，通过约束箍筋间距 $s \leq 6 d_b$ （ $d_b$ 为纵筋直径）实现。

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