以下是大学本科土木工程专业 土力学 的 超全公式分类汇编，涵盖 土的物理性质、渗透性、应力计算、压缩与固结、抗剪强度、地基承载力及边坡稳定 等核心内容，依据《土力学》（GB 50007-2011及相关教材）整理，每个公式均附 符号说明 和 应用场景。

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1. 土的物理性质指标

1.1 基本三相指标

1. 天然密度（湿密度）：

   $$\rho = \frac{m}{V} \quad (\text{单位：g/cm³或t/m³})$$

   • $m$ ：土的总质量（固体+水+空气）

   • $V$ ：土的总体积

2. 干密度：

   $$\rho_d = \frac{m_s}{V}$$

   • $m_s$ ：土粒质量

3. 饱和密度：

   $$\rho_{sat} = \frac{m_s + V_v \rho_w}{V}$$

   • $V_v$ ：孔隙体积

   • $\rho_w$ ：水的密度（1g/cm³）

4. 孔隙比：

   $$e = \frac{V_v}{V_s}$$

   • $V_s$ ：土粒体积

5. 孔隙率：

   $$n = \frac{V_v}{V} \times 100\%$$

6. 含水量：

   $$w = \frac{m_w}{m_s} \times 100\%$$

   • $m_w$ ：水的质量

7. 饱和度：

   $$S_r = \frac{V_w}{V_v} \times 100\%$$

   • $V_w$ ：水的体积

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2. 土的渗透性

2.1 达西定律

$$v = ki$$ $$Q = vA = kiA$$

• 符号说明：

  • $v$ ：渗透速度（cm/s）

  • $k$ ：渗透系数（cm/s）

  • $i$ ：水力梯度（ $i = \frac{\Delta h}{L}$ ）

  • $Q$ ：流量（cm³/s）

2.2 渗透系数测定

• 常水头试验：

  $$k = \frac{QL}{A \Delta h t}$$

• 变水头试验：

  $$k = 2.3 \frac{a L}{A t} \log \frac{h_1}{h_2}$$

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3. 土中应力计算

3.1 自重应力

$$\sigma_{cz} = \gamma z$$

• $\gamma$ ：土的重度（地下水位以下用浮重度 $\gamma'$ ）

• $z$ ：计算点深度

3.2 基底附加应力（集中荷载）

$$\sigma_z = \frac{3P z^3}{2 \pi R^5}$$

• $R = \sqrt{r^2 + z^2}$ （ $r$ ：水平距离）

3.3 矩形均布荷载角点下附加应力

$$\sigma_z = K p_0$$

• $K$ ：应力系数（查表，与 $l/b$ 、 $z/b$ 相关）

• $p_0$ ：基底净压力

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4. 土的压缩与固结

4.1 压缩系数与压缩模量

1. 压缩系数：

   $$a_v = -\frac{de}{d\sigma'}$$

   • $\sigma'$ ：有效应力

2. 压缩模量：

   $$E_s = \frac{1 + e_0}{a_v}$$

4.2 太沙基一维固结理论

1. 固结度：

   $$U = 1 - \frac{8}{\pi^2} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} e^{-m^2 \pi^2 T_v / 4}$$

   • $T_v = \frac{C_v t}{H^2}$ （时间因数）

   • $C_v$ ：固结系数（ $C_v = \frac{k (1 + e_0)}{a_v \gamma_w}$ ）

2. 最终沉降量：

   $$S = \sum \frac{a_v}{1 + e_0} \Delta \sigma' H$$

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5. 土的抗剪强度

5.1 莫尔-库仑准则

$$\tau_f = c + \sigma' \tan \phi$$

• 符号说明：

  • $\tau_f$ ：抗剪强度（kPa）

  • $c$ ：黏聚力（kPa）

  • $\sigma'$ ：有效正应力（kPa）

  • $\phi$ ：内摩擦角（°）

5.2 直剪试验

• 峰值强度：

  $$\tau_p = c_p + \sigma \tan \phi_p$$

• 残余强度：

  $$\tau_r = c_r + \sigma \tan \phi_r$$

5.3 三轴试验

1. 总应力法（UU试验）：

   $$\tau_f = c_u$$

2. 有效应力法（CD试验）：

   $$\sin \phi' = \frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{\sigma_1' + \sigma_3'}$$

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6. 地基承载力

6.1 太沙基地基极限承载力

$$q_u = c N_c + q N_q + 0.5 \gamma B N_\gamma$$

• 承载力系数（查表）：

  • $N_c = 5.14$ , $N_q = 1.0$ , $N_\gamma = 0$ （ $\phi = 0$ 时）

6.2 汉森修正公式

$$q_u = c N_c s_c d_c + q N_q s_q d_q + 0.5 \gamma B N_\gamma s_\gamma d_\gamma$$

• $s_c, s_q, s_\gamma$ ：形状系数

• $d_c, d_q, d_\gamma$ ：深度系数

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7. 边坡稳定分析

7.1 瑞典圆弧法（φ=0）

$$F_s = \frac{\sum (c l_i)}{\sum W_i \sin \alpha_i}$$

• $l_i$ ：第i条块的弧长

• $\alpha_i$ ：条块底面倾角

7.2 毕肖普法（考虑条间力）

$$F_s = \frac{\sum \frac{c l_i + (W_i \cos \alpha_i - u_i l_i) \tan \phi}{m_{\alpha_i}}}{\sum W_i \sin \alpha_i}$$

• $m_{\alpha_i} = \cos \alpha_i + \frac{\tan \phi \sin \alpha_i}{F_s}$

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公式总表（按章节分类）

章节	核心公式	应用场景
物理性质	$e = \frac{V_v}{V_s}$	土体分类
渗透性	$Q = kiA$	渗流量计算
地基应力	$\sigma_z = K p_0$	基础沉降分析
抗剪强度	$\tau_f = c + \sigma' \tan \phi$	边坡稳定性验算

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符号说明汇总

符号	含义	单位
$e$	孔隙比	无量纲
$k$	渗透系数	cm/s
$C_v$	固结系数	m²/year
$N_q$	承载力系数	无量纲

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应用示例

案例1：压缩模量计算

• 已知 $a_v = 0.5 \, \text{MPa}^{-1}$ ， $e_0 = 0.8$ ：

  $$E_s = \frac{1 + 0.8}{0.5} = 3.6 \, \text{MPa}$$

案例2：地基承载力验算

• 黏土地基（ $c = 30 \, \text{kPa}$ , $\phi = 0$ ），基础宽度 $B = 2 \, \text{m}$ ：

  $$q_u = 5.14 \times 30 + 0 = 154.2 \, \text{kPa}$$

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